【小4算数】概数ってどんな時に使うの?範囲を求める問題はどうやって解けばいいの?疑問にお答えします!

小学4年の算数で出てくる概数

それまで、ひとつの数字もゆるがせにせず、キッチリ計算させられてきたのに、急に「だいたいでええんやでー」みたいなこと言われて、エエー!?ってなりますよね😁

琴羽
四捨五入、切り上げ、切り捨て、うん、それは分かった。でも、もとの数字で計算したらいいんじゃないの?わざわざ本当じゃない数字にしちゃうのは、なんで?

そんな風に混乱するお子さんも多いんじゃないかな。

概数を作るのは分かっても、「概数が表す範囲」の問題が、小学生にはちょっと手ごわかったりもします。

この記事では、

  1. 概数ってどんな時に使うの?
  2. 概数の基本
  3. 概数の表す範囲」の問題

を解説します。

概数とは? 〜習わなくても、もう使ってるはず

概数って、それ自体はそんな難しいことでもないんですけど、(今まで1の位まで計算させられて、答えが1でも違ったらバッテンくらったのに、なんか話が違う…!)と、解せない気持ちをかかえているお子さんも少なくないんじゃないかと思います。

私も小学生の時、授業を受けながら、(ちゃんとした本当の数があるのに、それを使わないで、わざわざ四捨五入して、だいたいの数にする意味が分からないなぁ)と思っていました。

でも、大人になって分かりました。概数って意外と普通に使ってるんですよ。

お子さんが遊びに行く時。おつかいを頼む時。

あなた
これと、あれと、それ。だいたい二千円あったら足りるよね。ハイ、じゃあ二千円渡すね

やってますよね?「概数」って、つまりはこれのことなんです。

「きっちりした数字が分からない時は、だいたいの数を使って、だいたいの計算をすれば、だいたいの結果が分かるよねー!」

これが概数の基本です。大雑把な人にイチオシの算数です。笑

本当の数字がちゃんと分からないけど、何とかしなきゃいけないことって、よくありますよね。生活に密着していて、大人になってからも一番実用に使える算数だと私は思っています😃

概数を使ったら便利な場面

概数を使いたくなる時って、2つの場合があります。

ひとつめ。

鈴音
キッチリした本当の数字は分からないけど、だいたいは分かってる結果もだいたい分かればオッケー!

さっきも出てきました。買い物に行く時、いくら持っていけばいいか?何を買うのかは分かってるし、それぞれ○百円くらい、までは分かる。1円単位までは値札を見ないと分からないけど、お金を多めに持ってって、足りればそれでいい。そんな時に便利に使えます。

ふたつめ。

鈴音
本当の数字は分かってるけど、数字が大きくて桁数がすごい。計算の手間が大変。結果はそんなに1の位まで分かる必要はなくて、だいたいこのくらいって分かれば十分なんだけど…

たとえば、埼玉県と千葉県、どちらが人口密度が高いか知りたいとします。

人口(人) 面積(km2)
埼玉県 7,289,701 3,797
千葉県 6,239,522 5,156

人口密度は人口÷面積を計算すれば分かります。でも、わり算たいへんですよね。多いか少ないかだけ分かればいいんなら、概数でやれば簡単に済みます。

人口(人) 面積(km2) 人口密度(人/km2)
埼玉県 73十万 4千 Winner!1800
千葉県 62十万 5千 1200

※概数での割り算は(上から2桁)÷(上から1桁)=(上から1〜2桁まで求める)このようにするとよいでしょう

算数の勉強をしていると、目の前にある数字をとにかく正確に計算することばかり考えがちです。でも、日常生活で何かを知りたい時の計算は、だいたい分かれば用事が足りることのほうが多いんです。概数を知っていると、計算の手間が省けます。これを知りたい、となったときに、どこまで計算すればいいかを考えましょう。その計算の目的は何ですか?

  • 何かを準備するためなら、一の位まで計算しなくても、とにかく足りさえすればいいんですよね?
  • 比較したいなら、大きいか小さいかだけ分かればよくて、一の位までは要らないことが多いですよ。

私は暗算が苦手なので、スキあらば概数計算で済ませます。3桁は無理でも、1桁2桁なら暗算できますからね!😁

生活の中で、お子さんに何かを見積もってもらったりして、概数の使い方を練習するのも楽しいですよ。

  • おつかいのリストはこれね。だいたいの値段を百円玉の枚数で書けるかな?千円札は何枚持っていくといいかな?
  • 寝るまでにすることはこれこれだよね。それぞれ何分くらいだと思う?じゃあ全部で何分くらいかかるかな?9時に寝るためには、何時にやり始めたらいいかな。

算数や理科の問題の計算の見直しにも使えるよ!

算数や理科の計算で、計算の途中でうっかりミスをして、まったく違う答えになることがあります。たとえば、これはうちの琴羽が実際に間違えた計算問題なのですが…

$$\begin{array}{rr}
& 364 \\
+ & 197 \\
\hline
& 361
\end{array}$$

概数の感覚を持っていると、出た答えを見て、あれ、なんかおかしいな。と分かります。

だって、300越えた数と、200近い数を足したら、500を越えた数になるはずです。百の位が3になるわけがない。どっか間違えたな。というのが分かります。(百の位で、たし算するところを、間違えて引き算してしまったそうです笑)

全ての桁の正確さを保証しようとすると見直しもしんどくなってきますが、その場で概数で見直す習慣をつけておくと、このような、明らかな間違いをすぐに発見することができます

概数の基本

概数の問題に出てくる言葉と、それをどう解くかを整頓しておきましょう。

概数を計算する時、もとの数を「使う桁」と「使わない桁」に分けて考えます(この言葉はここでしか出てきませんので覚える必要はありません)。

たとえば、24372を百の位で四捨五入する時のことを考えましょう。


濃い字のところが「使う桁」、薄い字のところが「使わない桁」です。

概数では「使わない桁」は全部ゼロにして、「使う桁」だけで計算します。概数というのは、「おおまかに計算できればいいので、小さい桁のことは考えないことにする」という考え方なんですね。

小さい桁にあった端数の取り扱い方が、3種類あります。切り上げ切り捨て四捨五入です。

切り上げは、使わない桁は全部ゼロにして、使う桁の中で一番下のやつを1増やします。はみでた小さな数を一人前として数えるやり方です。

24372 >>百の位で切り上げ>> 25000

切り捨ては、使わない桁は全部ゼロにするだけです。はみでた小さな数はなかったことになります。

24372 >>百の位で切り捨て>> 24000

四捨五入は、使わない桁を全部ゼロにして、使わない中で一番上の桁が4以下だったら切り捨て、5以上だったら切り上げをします。はみでた小さな数が、小さめだったらなかったことにして、大きめだったら一人前として数えるやり方です。

24372 >>百の位で四捨五入>> 24000

24817 >>百の位で四捨五入>> 25000

「○の位を四捨五入する」

百の位を四捨五入する」とあったら、一、十、百が使わない桁です。百の桁を見て、小さかったら切り捨て、大きかったら切り上げて千の位を1増やします。

「四捨五入して○の位までの概数にする」

「四捨五入して千の位までの概数にする」とあったら、千、万(、十万、もっと上)が使う桁です。上の桁から順番に見ていって、千の位までが使う桁です。百の位を見て、小さかったら切り捨て、大きかったら切り上げて千の位を1増やします。

「四捨五入して上○桁までの概数にする」

「四捨五入して上2桁までの概数にする」とあったら、上2桁が使う桁です。ですから、上から数えて3桁目を見て、小さかったら切り捨て、大きかったら切り上げて上から2桁目を1増やします。

練習問題

頭の中で答えられると思います。答を思い浮かべてから、クリックして開いてみてくださいね。

  1. 千の位を切り捨てて、万の位までの概数にしましょう。
    1. 87567
      80000
    2. 172742
      170000
  2. 百の位を四捨五入して、千の位までの概数にしましょう。
    1. 4028
      4000
    2. 15973
      16000
  3. 四捨五入して、上2桁までの概数にしましょう。
    1. 5712
      5700
    2. 19562
      20000
icon-pencil ポイント 切り上げて、ひとつ上の位を1増やすと、繰り上がりが発生することがあります。これは普通のたし算と同じです。1を足すだけです。慣れないとちょっとあわてちゃうかもしれません。落ち着いて、1を足すんだよ、と教えてあげてください。

概数から「本当の数」の範囲を求める問題

概数の問題はおおまかに言って2種類あります。

  1. 本当の数を四捨五入(または切り上げ・切り捨て)して、概数を作る
  2. 概数を見て、四捨五入(または切り上げ・切り捨て)する前の「本当の数」の範囲を答える

1はさっき説明した言葉と、そのやり方を覚えて解きます。こちらは覚えてしまえば難しくありません。

が、2につまずくケースがしばしば見受けられます。この問題の解き方を見てみましょう。

icon-pencil ポイント1がしっかり理解できて、十分慣れたことを確かめてから、2の問題に挑戦してください。2の問題を解くために、1を使いますよ!

問題

百の位で四捨五入して、およそ36000人」とあった時、四捨五入する前の本当の数は何人以上何人以下ですか?

用意するもの

この手の問題は、解くための決まった手順を覚えようとするよりは、「試しにやってみると、思ったより簡単にほどけてくる」タイプの問題です。試しにやってみる問題は、書きながら考えると分かりやすいです。

手元にメモ用紙と鉛筆を用意してください。

用意できましたか?

以下、試しにやってみる道筋をたどるように説明してあります。手順ごとに説明を隠してありますから、手元のメモ用紙でやってから、説明を開いて読むようにしてください。順を追って解けるようになっています。

考え方

「百の位で四捨五入して36000になる数」はひとつではありません。
36000よりちょっと小さい数は、四捨五入すると36000になります。
36000よりちょっと大きい数も、四捨五入すると36000になります。
ポイントは、「四捨五入の結果が36000になるためには、どのへんまで小さくしていいのか?どこまで大きくしていいのか?」ということなんですね。

つまり、この問題を言い換えると、「百の位で四捨五入して36000になる数の中で、一番小さい数と一番大きい数は何でしょう」ということになります。

百の位で四捨五入して36000になる数の中で、一番小さい数は?

まず、一番小さい数がどれかを調べましょう。

試しに、36000よりちょっと小さい数を作って、四捨五入してみましょう。

手元の紙で36000よりちょっと小さい数を作って、四捨五入できたら開いてください
35950 → 36000
35837 → 36000
35718 → 36000
楽勝ですね!この調子でどこまで小さくできるのかやってみたいですね。

四捨五入する時に見るのはどこの位でしたっけ。
35718

この位を見て四捨五入する!と、指差してから開いてください
そう、百の位でしたよね。
35718
百の位が9だったら、36000になります。
百の位が8でも、7でも、36000になります。
もっと小さくても36000になりますよね?

じゃあ、どこまで小さくできるでしょう?さっき指差した位だけ見てください。十と一の位は切り上げや切り捨ての判断に関係ありません。四捨五入したらゼロになるだけです。だから十と一の位はどんな数でもいいんです。

指差した位をできるだけ小さくした数を作ってから、開いてください
35632 → 36000
35520 → 36000

百の位が5だと36000になります。

じゃあ、百の位4だとどうなりますか? …35000になってしまいますね。

35489 → 35000

百の位は5が一番小さいということが分かりました。

百の位をその数にしておいて、全体をもっと小さい数にできますか?

一番小さくしたらこうなる、という数を手元で作ってから、開いてください
そうです、十と一の位をもっと小さくすればいいんですね。

35512 → 36000

一番小さくすると、どうなりますか?

35500 → 36000

そうですね!これより1つでも小さくしたら

35499 → 35000

百の位で四捨五入すると35000になってしまいます。

だから、百の位で四捨五入して36000になる数のなかで一番小さい数は、「35500」です。

百の位で四捨五入して36000になる数の中で、一番大きい数は?

次に、一番大きい数がどれかを調べます。

やり方は一番小さい数を調べた時と同じです。さっきと同じように、手元でやってみてください。36000より少し大きい数から始めます。

手元の紙で36000より少し大きい数を作って、四捨五入できたら開いてください
そうですね、切り捨てができれば36000になるんです。
36063 → 36000
36192 → 36000

四捨五入する時、どこを見て判断するんでしたっけ…?

36192 → 36000

この位を見るんだよ、さっきやったじゃん!と指差してから、開いてください
そうそう、百の位でしたね。
36264 → 36000

もっと大きくしていきましょう。百の位はどこまで大きくできるでしょうか。

その位はどこまで大きくできますか?

この数字まで大きくできるよね、と手元に書いてから開いてください
36401 → 36000

百の位が4だと大丈夫ですね。5になるとどうかな?

36521 → 37000

切り上げになってしまいます。ちょっと大きくしすぎましたね。百の位は4が一番大きいことが分かりました。

その位の数字が分かったところで、そのまま、できるだけ大きい数をつくってみましょう。十と一の位はなんでも良いんでしたよね。じゃあ、一番大きい数字は?

一番大きい数字が作れたら、開いてください
36499

そうですね!

もし、これより1つでも大きくすると

36500 → 37000

百の位で四捨五入すると37000になってしまいます。

だから、百の位で四捨五入して36000になる数のなかで一番大きい数は、「36499」です。

答え

百の位で四捨五入して36000になる数の中で、

  • 一番小さい数は35500
  • 一番大きい数は36499

ということが分かりました。ということは、答えは

35500人以上、36499人以下

ということになります。

大事なポイント

この手の問題を解く時に大事なのは、「どこの位を見て四捨五入・切り上げ・切り捨ての判断をするか」をしっかり確認することです。さっきの問題だと、百の位でしたね。その位の数字によって、概数が変わってきます。答えにたどりつくには、その位の数字をいろいろと変えてみることが近道になります。

そして、その位より小さい位はどんな数字でも概数の計算には関係ない、ということもポイントです。一番大きい数を知りたい時は、好きなだけ大きくしていいし、一番小さい数を知りたかったら、好きなだけ小さくしていいのです。

このふたつを使えば、一番小さい数と一番大きい数がどれなのか、効率よく探せます!

数直線を作りながら解く方法

考え方に慣れてきたら、数直線を作りながら範囲を見つける方法も使えるようになってきます。やってみましょう。

  1. まず、数直線を引いて、真ん中に概数(今回は36000)を書く。
  2. 一番小さい数を探すために、少し小さい数をプロットする。今回は「百の位で四捨五入」なので、百の位を少し小さくする。
  3. もっと小さくして大丈夫と思ったら、百の位をひとつずつ小さくしてプロットしながら、四捨五入して36000になるかどうか確かめる。
  4. 36000になる範囲で一番小さい数を特定する。
  5. 次に、一番大きい数を探すために、少し大きい数をプロットする。小さい数を探した時と同じように、百の位をひとつずつ大きい方へ動かす。
  6. 四捨五入して36000になるか確かめながら大きくしていく。これ以上大きくしたら37000になっちゃうなーというポイントが来るので、そうならない範囲で一番大きい百の位の数を見つける。
  7. 百の位が決まったら、そこを固定して、十と一の位を一番大きくして、一番大きい数を特定する。
  8. 範囲を「〜以上〜以下」または「〜以上〜未満」の形にまとめる。

数直線を描きながら解く様子を、スライド(紙芝居)にしてみました。すみません、スマホだと小さくて読みづらいかもしれません。横画面にしてみると少しは読みやすくなります。お試しください。

発展

この問題は「人数」を扱っています。ですから、概数にする前の本当の数は整数です。そのため、一番大きい数は「36499」です、としました。でも、これが「長さ」や「重さ」だと、もう一歩進める必要があります。

百の位で四捨五入して36000cmになる長さの範囲は?

という問題では、一番小さな数は35500cmで同じですが、一番大きな数は36499cmではなく、36499.99…cmになります。36500cmにならないギリギリまで大丈夫です。これをどう回答するかというと、

35500cm以上 36500cm未満

という表現になります。

練習問題

以下の問題に答えましょう。概数にする前の数は整数とします。

手元に紙を用意して、さっきと同じように解いてみましょう。

  1. 四捨五入で千の位までの概数にしたとき、23000になるのはいくつ以上いくつ以下ですか。
    22500以上 23499以下
  2. 十の位を切り上げて概数にしたとき、18700になるのはいくつ以上いくつ以下ですか。
    18610以上 18709以下
  3. 千の位を四捨五入して概数にしたとき、40000になるのはいくつ以上いくつ以下ですか。
    35000以上 44999以下
  4. 百の位を四捨五入して概数にしたとき、40000になるのはいくつ以上いくつ以下ですか。
    39500以上 40499以下
 ポイント 4番はちょっと考えるかも。どの位を見て四捨五入するのかしっかり確かめて、問題に取り組んでください。

法則に気づきましたか?

類問を何題かやっているうちに、次のことに気づく人もいると思います。

四捨五入の概数の範囲を求めるとき、
  • 一番小さな数は、四捨五入する位が5で、それより下の位は全部0
  • 一番大きな数は、四捨五入する位が4で、それより下の位は全部9

でも、最初からこれを覚えようとしても、とても覚えにくいですよね。四捨五入だけでなく、切り上げや切り捨ての場合もありますし、意味もわからずただ全部覚えるのは大変です。答えをむやみに覚えようとせず、まずは試しにやってみる方法の考え方を覚えるようにしましょう。

なんでこんなの求めないといけないの?

このページの最初のほうで、概数を使う場面を紹介しました。「何かを見積もるために、概数で計算することがある」という話でしたよね。だいたいの計算をして、だいたいの結果が分かったらいいや!というやつです。

その他に、「だいたいこのくらいなのは分かった。それと、これ以上は大きくならない、これよりは小さくならない、という、上限下限を知っておきたい」という場合もあるのです。

たとえば、遠足のバスを手配しなきゃいけない時に、何かの事情で各クラスの人数の情報が十人単位の四捨五入の概数でしか入ってこないとします。4クラスあって、各クラス30人、30人、30人、20人。合計したら110人ですが、じゃあ110人で!ってバスを手配しますか?いやー、できませんよね。じゃあ実際集まってみて110人より多かったら置いていくのか?っていう話ですよね。

一番少なくて、25人、25人、25人、15人で合計90人。
一番多くて、34人、34人、34人、24人で合計126人。

この数字が分かれば、バス会社に打診できますね!大人になると、よく分からない中で仕事しなきゃいけないことが時々ありますよねー。オトナって大変〜😁

応用問題

このバス手配問題を、算数の問題っぽく出題すると、こんな風になります。

問題
AとB、ふたつの整数があります。
Aは十の位を四捨五入すると400
Bは十の位を切り捨てる700になります。
このとき、A+Bはいくつ以上いくつ以下になりますか。
ヒント…Aはいくつ以上いくつ以下ですか?
350以上 449以下
ヒント…Bはいくつ以上いくつ以下ですか?
700以上 799以下
ヒント…A+Bが一番小さくなるのは、Aがどんな数で、Bがどんな数の時ですか?
AもBも一番小さい数の時
ヒント…A+Bが一番大きくなるのは、Aがどんな数で、Bがどんな数の時ですか?
AもBも一番大きい数の時
1050以上 1248以下

まとめ

概数は、大人になってからめっちゃ役に立つなーと思う算数のひとつです。数学が好きな私ですが、正確な計算が大の苦手で、よく間違えるんです。桁数が多くなると本当に無理です笑 概数があって本当、助かります。

概数の表す範囲の問題は、慣れるまでちょっとむずかしく思えるかもしれません。本文で説明したように、四捨五入(または切り上げ・切り捨て)で判断する桁を見極めて、それを試しに1つずつ小さくして一番小さな数を、1つずつ大きくしていって一番大きな数を探す、という流れを繰り返すのが近道です。一度慣れて、考え方が分かればこっちのものです!

お手元に分からない問題があったら、質問箱から説明リクエストをお送りください。解説記事にしますよー。

では、今回はこのへんで!

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